Teorema de Pitágoras |
Contenido de esta página:
- Introducción y Teorema
- Problemas Resueltos: aplicación del Teorema de Pitágoras
- Test (más problemas)
Introducción
Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces,
Recordemos que:
- el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π / 2 radianes.
- la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto
Nota: h siempre es mayor que los dos catetos, es decir, h > a y h > b.
El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos. Existen cientos de demostraciones de este resultado.
La pirámide de Kefrén (siglo XXVI a. C.) fue construida en base al llamado triángulo sagrado egipcio, que es el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.
La comprensión del teorema es sencilla y tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana, como veremos en los problemas de esta sección. Pero también tiene sus aplicaciones en las matemáticas avanzadas (análisis vectorial, análisis funcional..).
Problemas Resueltos
Problema 1
Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.
Ver solución
Problema 2
Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?
Ver solución
Problema 3
Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden 
y 
.
y .
Ver solución
Problema 4 (dificultad muy alta)
Calcular la altura del siguiente triángulo sabiendo que sus lados miden , 
y su base 3.
, y su base 3.
Ver solución
Problema 5
Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos que sus diagonales (altura y anchura) miden 16 y 12.
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Problema 6
Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.
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Problema 7 (dificualtad alta)
Distancias Sol-Tierra-Luna. Supongamos que la luna está en la fase de su primer cuarto, lo que significa que desde la Tierra la vemos del siguiente modo
siendo la mitad clara la que vemos, es decir, la iluminada por el Sol.
Sabemos que la distancia de la Tierra a la Luna es de 384100km y de la Tierra al Sol es de unos 150 millones de kilómetros. Se desea calcular la distancia de la Luna al Sol en esta fase (considerar las distancias desde los centros).
Plantear el problema, pero no es necesario calcular el resultado.
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Test sobre Pitágoras
Escoger la opción correcta en todas las preguntas.
Pregunta 1
Un ángulo recto es...
Un ángulo de 45 grados.
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Un ángulo de 90 grados.
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Un ángulo de 180 grados.
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Razonamiento:
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Pregunta 2
Para aplicar el teorema de Pitágoras...
Es necesario tener un ángulo obtuso.
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Es necesario tener un ángulo recto.
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Es necesario tener un triángulo equilátero.
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Todas las opciones anteriores son falsas.
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Razonamiento:
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Pregunta 3
En un triángulo rectángulo de lados 1cm y 1dm, ¿cuánto mide la hipotenusa?
Todas las opciones anteriores son falsas.
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Razonamiento:
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Pregunta 4
La diagonal de un rectángulo de lados 2cm y 4cm mide...
(a)
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(b)
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Las opciones (a) y (b) son correctas.
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Las opciones (a) y (b) son falsas.
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Razonamiento:
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Pregunta 5
La diagonal de un cuadrado de área 1cm2 mide...
Razonamiento:
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Pregunta 6
La siguiente figura está compuesta por dos rectángulos (uno azul y uno amarillo) y un triángulo equilátero (todos sus lados miden lo mismo).
Sabemos que uno de los lados y la diagonal del rectángulo azul miden:
Se desea calcular cuánto mide la diagonal del otro rectángulo (d) aplicando el teorema de Pitágoras.
No es posible calcular la diagonal con los datos que conocemos.
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Es posible calcularla y mide 7.5cm.
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Es posible calcularla y mide 11cm.
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Ninguna de las opciones anteriores es cierta.
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Razonamiento:
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Pregunta 7
La figura siguiente está formada por cuadrados de distintitos tamaños, siendo el número de cada cuadrado la longitud del lado de dicho cuadrado (primeros términos de la serie de Fibonacci).
Se desea calcular la longitud de la cuerda de color rojo.
No se puede calcular la longitud con los datos dados.
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La longitud es
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La longitud es
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La longitud es
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Razonamiento:
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Pregunta 8
Queremos calcular la altura, h, de un triángulo equilátero de lado
La representación del triángulo es
Todas las opciones anteriores son falsas.
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Razonamiento:
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Pregunta 9
La siguiente figura
puede usarse para demostrar geométricamente el teorema de Pitágoras porque...
El área del cuadrado morado es igual al área del triángulo (color rojo).
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La suma de las áreas de los cuadrados morado y azul es igual al área del triángulo (color rojo).
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La suma de las áreas del triángulo y del cuadrado verde es igual a la suma de las áreas de los cuadrados azul y morado.
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La suma de las áreas de los cuadrados verde y azul es igual al área del cuadrado morado.
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Razonamiento:
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Pregunta 10
Los radios de las circunferencias de la figura miden 1 y 2 metros
Y el segmento rojo que las une mide
Se desea calcular la distancia, L, que hay entre los centros de las circunferencias.
No podemos calcular L, al menos aplicando Pitágoras, porque las circunferencias no tienen ángulos rectos.
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La distancia es L = 5 m.
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La distancia es L = 60 dm.
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La distancia es L = 0,5 cm.
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